三角形中角平分线形成的角的三个小结论

三角形中角平分线形成的角的三个小结论

湖北省黄石市下陆中学802班 成昌力（14岁）指导教师：陈 勇

学习三角形角平分线的知识时,我发现了三个有趣的结论，让大家一起来看看吧！例1 如图1，已知△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE相交于点O，求证：∠BOC= 90°+∠A。

解：∵BD平分∠ABC

∴∠ABC=2∠ABD=2∠DBC 同理：∠ACB=2∠ACE=2∠ECB.在△BOC中，∠BOC+∠DBC+∠ECB= 180°，∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)

∵在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB= 180°, ∴∠ABC+∠ACB =180°-∠A ∴2∠DBC+2∠ECB =180°-∠A

∴∠DBC+∠ECB =90°-∠A

∴∠BOC=180°-(90°-∠A)

即∠BOC= 90°+∠A。

结论1：在一个三角形中，任意两个内角的角平分线相交形成的钝角等于90°加上第三个角的一半。

例2 如图2，已知BO平分∠EBC，CO平分∠FCB，BO、CO相交于点O，探究∠BOC与∠A的关系。

解：∵BO平分∠EBC

∴∠EBC=2∠CBO=2∠EBO 同理：∠FCB=2∠BCO=2∠FCO 又∵∠ABC+∠EBC=180°

∴∠ABC=180°-∠EBC=180°-2∠CBO 同理：∠ACB=180°-∠FCB=180°-2∠BCO ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠A+180°-2∠CBO+180°-2∠BCO =180°

∴∠CBO+∠BCO= 90°+∠A

又∠BOC+∠CBO+∠BCO =180° ∴∠BOC =180°-(∠CBO+∠BCO)

=180°-(90°+∠A)

=90°-∠A

结论2：三角形两个外角的角平分线相交形成的角等于90°减去第三个外角对应的内角的一半。

例3 如图3，已知△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD，BE、CE相交于点E，探究∠E与∠A的关系。

解：∵BE平分∠ABC ∴∠ABC=2∠ABE=2∠EBC 同理：∠ACD=2∠ACE=2∠ECD 又∵∠ACB+∠ACD=180°

∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-2∠ACE 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠A+2∠EBC+180°-2∠ACE=180°

∴∠ACE-∠EBC=∠A。①

在△BEC中，∠EBC +∠BCE+∠E=180° ∴∠EBC +∠ACB+∠ACE+∠E =180° 即∠EBC +180°-2∠ACE +∠ACE+∠E =180° ∴∠ACE-∠EBC=∠E.②

由①和②得：∠E=∠A。

结论3：三角形的一个内角的角平分线与另一个内角的邻补角的角平分线相交形成的角等于三角形中的第三个内角的一半。

全等三角形证明题汇编

1．如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB,若AB>AD,DC=BC.求证：BD180.图2－

12．如图:已知在ABC中，AC=BC,ACB90,BD平分ABC.DE⊥AB。求证：AB＝BC＋CD.图2－2

3．如图，在ABC中，C2B,12,试证明AB=AC+CD.图2－3

4．如图，已知在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC.求B︰C的值

5．如图，在ACB中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF交AB于点E，连结EG.求证：BG=CF.请你判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.B

图

3－1 C

G

图3－2

6．如图所示，ABAD,BCDE,12,求证：(1)ACAE;(2)2CAE.1题

7．如图所示，CEAB,BFAC,BF交CE于D,且BD=CD,求证：点D在BACB

CA2题

8．如图所示，已知12,ACBD.说出ABCBAD成立的理由.AB

3题

9．如图所示，在ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE.求证：AH=2BD.4题

10．如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M,BD交AC于点N，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE.D6题当ABC绕A点沿顺时针方向旋转到（1）（2）（3）位置时，上述结论是否成立？请说明。

E

EC

C

B

A3

11．如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE2DAM.求证：AE=BC＋CE.ME

8题

《角平分线》测试题

时间：60分钟

满分：100分

一、填空题（每小题3分，共30分）

1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为

.2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．

3．∠AOB的平分线上一点M，M到

OA的距离为1.5

cm，则M到OB的距离为_________.4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3

cm，BD=5

cm，则BC=_____cm.第7题

第6题

第4题

第5题

6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．

9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．

10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为.二、选择题（每小题3分，共30分）

11．三角形中到三边距离相等的点是（）

A、三条边的垂直平分线的交点

B、三条高的交点

C、三条中线的交点

D、三条角平分线的交点

12．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）

A、PD＝PE

B、OD＝OE

C、∠DPO＝∠EPO

D、PD＝OD

13．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A、1处

B、2处

C、3处　　　D、4处

14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）

A、4㎝

B、6㎝

C、10㎝

D、不能确定

第12题

第13题

第14题

15．如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（）

A、TQ＝PQ　　B、∠MQT＝∠MQP　　C、∠QTN＝90°　　D、∠NQT＝∠MQT

第15题

第16题

第17题

16．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3

cm，那么AE+DE等于（）

A．2

cm

B．3

cm

C．4

cm

D．5

cm

17．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）

A．①

B．②

C．①和②

D．①②③

第18题

18．如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（）

A．OA=OC

B．点O到AB、CD的距离相等

C．∠BDA=∠BDC

D．点O到CB、CD的距离相等

19．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）

A．2cm，2cm，2cm；

B．

3cm，3cm，3cm；

C．

4cm，4cm，4cm；

D．

2cm，3cm，5cm

20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）

A．两个三角形全等

B．如果还有一角相等，两三角形就全等

C．两个三角形一定不全等

D．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等

三、解答与证明（共30分）

21．（6分）如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.22．（6分）如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等.23．（7分）如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC.24．（7分）如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.25．（7分）如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O.(1)若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，试判断OE与OD的大小关系.并证明你的结论.(2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由.26．（7分）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.

1.3角平分线的性质

一、教材分析：本节课主要探究角平分线的性质与判定，而角平分线的性质对学生后期的三角形的全等起到很重要的作用，学生可以利用角平分线的性质和判定探索问题中的线段的数量关系与三角形全等的证明，实现承上启下的作用。

二、学情分析：学生刚刚经历了三角形的全等证明，对证明线段的长度关系有了探索的方向，本节课主要通过动手实践，摸索角平分线的性质与判定，再利用三角形全等的证明来求证角平分线的性质与判定，进而了解和掌握角平分线的性质与判定。

三、教学目标：

知识技能：了解角平分线的画法，了解和掌握角平分线的性质，理解角平分线的判定。

数学思考：经历角平分线的作法的实践活动，理解角平分线的性质和角平分线的判定。

问题解决：作角平分线，运用角平分线的性质与判定解决实际应用中的全等证明。

④情感态度：在合作探究中体验数学知识来源于生活，在学习过中中体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，培养严谨的科学态度。

四、教学重点与难点：教学重点：理解如何作角的平分线（尺规作图），角平分线的性质及运用。

教学难点：作角平分线中注意为什么要大于线段长的一半，由角平分线的性质得出角平分线的判定。

五、课时安排：1课时。

六、教学方法：合作探究法、引导法。

七、教学过程：

（一）：交流预习：预习教材P28-29的内容，展示收获。（教师巡视，师友相互交流，将自己的收获与师傅或学友分享）

（二）互助探究：探究角平分线的画法。

教师用课件展示思考1（教材P48）：师友利用预习的知识加以说明，两组师友展示画法并说明：

（教师在师傅的讲解时突出强调为什么要大于DE）探究角平分线上的点到角两边的距离的关系。教师展示课件教材思考2（P28）

师友互助，展示结果并讲解：

（教师补充：这题我们先应确定已知条件是什么，求证是什么。）已知：点C在AOB的角平分线上，,求证：CD=CE.证明：OC平分AOB，DOCEOC,CDOA,CEOB,CDOCEO90, 在DOC与EOC中，DOCEOC(已求)CDOCEO(已求)OCOC（公共边）

DOCEOC（AAS）

CDCE

师友共同总结这一结论：

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

此时让师友总结证明几何命题的步骤：

1、明确命题中的已知和求证；

2、根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。

探究角平分线的判定。

公路

铁路

教师展示课件教材思考3（P49）师友共同探讨，教师巡视，加以引导。展示师友比较优秀的做法并总结：

S

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

教师引导学生找出已知条件和求证，并让师友合作探讨，给出证明。选取一组师友的结果并展示：

已知：如图，QDOA,QEOB,点D、E为垂足，QDQE,求证：

点Q在AOB的平分线上。

证明：QDOA,QEOB（已知）

QDOQEO90(垂直的定义)在RtQDO与RtQEO中，QOQO（公共边）

QDQE（已知）

RtQDORtQEO(HL)QODQOE

点Q在AOB的平分线上。

教师引导师友总结：

在角的内部到角两边相等的点在角的角平分线上。（突出强调数学符号形式）数学符号语言表示为：

QDOA,QEOB，QDQE

 点Q在AOB的平分线上

（三）分层提高：教师利用课件展示练习：

如图，已知ABC的外角CBD的角平分线和BCE的角平分线相交于点F，求证：点F在DAE的角平分线上。

学友在师傅的指导下，师友共同完成本题，教师巡堂，帮助有困难的师友，然后展示较好的作业。师友作业展示如下：

证明：过F作FGAE交AE于点G,FHAD交AD于点H，FMBC交BC于点M，F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC，FGFM

又F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC，FMFH FGFH

点F在DAE的角平分线上。

（四）总结归纳：本节课你有哪些收获？你还有什么困惑？通过本次

（五）课的学习，你会勾画知识框图吗？你还想学习什么内容？（师友共同完成，学友回答，师傅可作补充）

（六）巩固反馈：（师友合作探讨交流）如图，ABC的角平分线BM,CN相交于点P，求证：点P到三边AB,BC,AC的距离相等。

（请两组师友加以证明，完成过程）

证明：过点P作PDAB于D,PEDC于E，PFAC于F，BM是ABC的角平分线，点P在BM上

PDPE(角平分线上的点到角的两边的距离相等)同理：PEPF

PDPEPF

即点P到三边AB,BC,AC的距离相等。

八、布置作业：教材P30 <能力>本节同步

 自编一道证明题，与师傅（或学友）分享

九、板书设计：

12.3角平分线的性质

1、角平分线的画法

展示角平分线的画法

2、角平分线的性质

借助角平分线画法证明

3、角平分线的判定

利用性质证明

4、课堂小结

十、教学后记：本节课在设计上主要是以学生的学为主线，用学代教的方式完成学习要求，以师友互助的方式让学生在交流与探讨的过程中掌握新的知识，运用新的知识，实现高效课堂。

10.5角平分线的性质

一、教材分析：本节课主要探究角平分线的性质与判定，而角平分线的性质对学生后期的三角形的全等起到很重要的作用，学生可以利用角平分线的性质和判定探索问题中的线段的数量关系与三角形全等的证明，实现承上启下的作用。

二、学情分析：学生刚刚经历了三角形的全等证明，对证明线段的长度关系有了探索的方向，本节课主要通过动手实践，摸索角平分线的性质与判定，再利用三角形全等的证明来求证角平分线的性质与判定，进而了解和掌握角平分线的性质与判定。

三、教学目标：知识技能：了解角平分线的画法，了解和掌握角平分线的性质，理解角平分线的判定。

数学思考：经历角平分线的作法的实践活动，理解角平分线的性质和角平分线的判定。

问题解决：作角平分线，运用角平分线的性质与判定解决实际应用中的全等证明。

④情感态度：在合作探究中体验数学知识来源于生活，在学习过中中体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，培养严谨的科学态度。

三、教学重点与难点：教学重点：理解如何作角的平分线（尺规作图），角平分线的性质及运用。

教学难点：作角平分线中注意为什么要大于线段长的一半，由角平分线的性质得出角平分线的判定。

四、课时安排：1课时。

五、教学方法：合作探究法、引导法。

六、教学过程：

（一）：交流预习：预习教材P125–126的内容，展示收获。（教师巡视，师友相互交流，将自己的收获与师傅或学友分享）

（二）互助探究： 教师展示课件教材思考

师友互助，展示结果并讲解：

（教师补充：这题我们先应确定已知条件是什么，求证是什么。）已知：点C在AOB的角平分线上，,求证：CD=CE.证明：OC平分AOB，DOCEOC,CDOA,CEOB,CDOCEO90, 在DOC与EOC中，DOCEOC(已求)CDOCEO(已求)OCOC（公共边）

DOCEOC（AAS）

CDCE

师友共同总结这一结论：

角平分线上的点到角的两边的距离相等。此时让师友总结证明几何命题的步骤：

1、明确命题中的已知和求证；

2、根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。探究角平分线的判定。教师展示课件教材思考

师友共同探讨，教师巡视，加以引导。展示师友比较优秀的做法并总结：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

教师引导学生找出已知条件和求证，并让师友合作探讨，给出证明。选取一组师友的结果并展示：

已知：如图，QDOA,QEOB,点D、E为垂足，QDQE,求证：

点Q在AOB的平分线上。

证明：QDOA,QEOB（已知）

QDOQEO90(垂直的定义)在RtQDO与RtQEO中，QOQO（公共边）

QDQE（已知）

RtQDORtQEO(HL)QODQOE

点Q在AOB的平分线上。

教师引导师友总结： 在角的内部到角两边相等的点在角的角平分线上。（突出强调数学符号形式）数学符号语言表示为：

QDOA,QEOB，QDQE

 点Q在AOB的平分线上

（三）分层提高：教师利用课件展示练习：

如图，已知ABC的外角CBD的角平分线和BCE的角平分线相交于点F，求证：点F在DAE的角平分线上。

学友在师傅的指导下，师友共同完成本题，教师巡堂，帮助有困难的师友，然后展示较好的作业。师友作业展示如下：

证明：过F作FGAE交AE于点G,FHAD交AD于点H，FMBC交BC于点M，F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC，FGFM

又F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC，FMFH FGFH

点F在DAE的角平分线上。

（四）总结归纳：本节课你有哪些收获？你还有什么困惑？通过本次课的学习，你会勾画知识框图吗？你还想学习什么内容？（师友共同完成，学友回答，师傅可作补充）

（五）巩固反馈：（师友合作探讨交流）如图，ABC的角平分线BM,CN相交于点P，求证：点P到三边AB,BC,AC的距离相等。

七、布置作业：教材P127 八 板书设计：

10.5角平分线的性质

1、角平分线的性质

借助角平分线画法证明

2、角平分线的判定

利用性质证明

3、课堂小结

九、教学后记：本节课在设计上主要是以学生的学为主线，用学代教的方式完成学习要求，以师友互助的方式让学生在交流与探讨的过程中掌握新的知识，运用新的知识，实现高效课堂。